Retta

Esistono diverse formulazioni per esprimere il concetto di retta.

Nel caso più generale, quello multidimensionale, una retta, luogo dei punti $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$ di dimensione 1, assume la forma

$$\mathbf{x} = \mathbf{p} + t \mathbf{v}$$ (1.22)

dove $\mathbf{p} \in \mathbb{R}^n$ è un generico punto di origine, $\mathbf{v} \in \mathbb{R}^n$ è il vettore direzione e $t \in \mathbb{R}$ è uno scalare. In questo caso si parla di raggio parametrico (parametric ray).

In buona parte delle applicazioni la retta è un concetto tipico dello spazio bidimensionale. In questo spazio, trascurando l'equazione della retta scritta in forma esplicita $y=mx + q$ in quanto presenta singolarità, dedichiamo l'attenzione alla retta scritta in forma implicita. L'equazione della retta scritta in forma implicita è:

$$a x + b y + c = 0$$ (1.23)

Tale rappresentazione è molto utile perché permette di considerare sia rette orizzontali che verticali senza singolarità alcuna. Il parametro $c$ vale zero quando la retta passa per l'origine e, ovviamente, la retta passa per un punto $(x',y')$ quando $c=-ax'-by'$.

Nel caso bidimensionale l'equazione del raggio parametrico (1.22) si riduce all'equazione della retta implicita di parametri

$$(a,b) \cdot \mathbf{v} = 0 \quad c = - (a,b) \cdot \mathbf{p}$$ (1.24)

Dalla prime delle equazioni (1.24) si vede come il vettore formato dai parametri $(a,b)$ e il vettore direttrice siano ortogonali tra loro. Il vettore generatore dalla retta è infatti proporzionale per esempio a $\mathbf{v} \propto (-b, a)$ o $\mathbf{v} \propto (\frac{1}{a},-\frac{1}{b})$. Il vettore $\mathbf{v}'$ ortogonale alla retta data è semplicemente $\mathbf{v}' \propto (a,b)$ e la retta ortogonale a quella data ha una equazione implicita scritta nella forma

$$bx - ay + c' = 0$$ (1.25)

dove $c'$ si ottiene selezionando il punto della retta originale in cui deve passare la perpendicolare.

I parametri della retta scritta in forma implicita sono omogenei (l'equazione (1.23) viene infatti chiamata equazione omogenea della retta) ovvero rappresentano un sottospazio vettoriale di $\mathbb{R}^3$: qualunque multiplo di tali parametri rappresenta la medesima retta. Tali parametri sono pertanto definiti a meno di un fattore moltiplicativo. Questa considerazione suggerisce un ulteriore modo per rappresentare una retta e un generico iperpiano.

Le rette, scritte in forma omogenea implicita, devono soddisfare l'equazione (prodotto scalare):

$$\mathbf{l}^{\top} \mathbf{x} = 0$$ (1.26)

con $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{3}$ punto in coordinate omogenee e $\mathbf{l}=(a,b,c)^{\top}$ i parametri della retta. Per le coordinate omogenee si veda la precedente sezione 1.4 mentre si veda per le implicazioni di questa scrittura, sul dualismo punto-retta, il paragrafo 1.5.7.

Siccome la retta implicita è conosciuta a meno di un fattore moltiplicativo, esistono infiniti modi di esprimere la medesima retta. Una possibile normalizzazione della retta si ottiene dividendo i parametri per la lunghezza $\sqrt{a^2 +b^2}$. In tal caso si ottiene una soluzione particolare della retta in quanto i parametri sono quelli di una retta scritta in coordinate polari nella stessa forma di equazione (1.46) e conseguentemente con questa normalizzazione il parametro $c$ rappresenta la minima distanza tra la retta e l'origine degli assi.

Infine, essendo la retta un iperpiano in 2 dimensioni, la sua equazione può essere scritta come in equazione (1.49).