Piani

Figura 1.5: Esempio di piano in $\mathbb{R}^3$.

È possibile generalizzare il discorso delle rette a piani ed iperpiani nello spazio $\mathbb{R}^{n}$. Come per le rette infatti esiste una forma implicita e omogenea dell'equazione di un piano intesa come luogo dei punti espressi dalla coordinata $\tilde{\mathbf{x}} \in \mathbb{R}^{n+1}$ omogenea a $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}$:

$$\mathbf{m}^{\top}\tilde{\mathbf{x}}=0$$ (1.48)

Il prodotto scalare tra coordinate omogenee codifica sempre degli iperpiani.

Le coordinate omogenee sono conosciute a meno di un fattore moltiplicativo e pertanto si può forzare un vincolo opzionale: come per le rette si può pensare che i primi $n$ parametri della coordinata omogenea formino un vettore di lunghezza unitaria.

Un generico piano, o iperpiano, è dunque il luogo dei punti $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}$ che soddisfano la condizione

$$\mathbf{x} \cdot \mathbf{n} - \rho = 0$$ (1.49)

dove $\mathbf{n} \in \mathbb{R}^{n}$ è la normale al piano e $\rho=0$ se e solo se il piano passa per l'origine. Nel caso di $\rho \neq 0$ una scrittura alternativa del piano è

$$\frac{1}{\rho} \mathbf{p} \cdot \mathbf{n} = 1$$ (1.50)

e un'altra scrittura dell'equazione (1.49) che si può trovare in letteratura è

$$(\mathbf{x} - \mathbf{x}_0) \cdot \mathbf{n} = 0$$ (1.51)

con $\mathbf{x}_0 \in \mathbb{R}^n$ un generico punto del piano da cui si può ricavare la corrispondenza $\rho = \mathbf{x}_0 \cdot \mathbf{n}$.

Bisogna ricordare che i gradi di libertà sono comunque sempre e solo $n$.

Quando introdotto, il vincolo di normalizzazione $\vert\hat{\mathbf{n}}\vert=1$ rappresenta un caso particolare: sotto questa condizione, come nel caso delle rette, $\rho$ assume il significato di minima distanza euclidea tra il piano e l'origine.

Se il piano (o l'iperpiano) è normalizzato, la distanza tra un generico punto $\mathbf {p}$ e il piano si misura come

$$d = \vert \mathbf{p} \cdot \hat{\mathbf{n}} - \rho \vert$$ (1.52)

altrimenti, come nel caso delle rette, è necessario dividere la distanza per $\Vert\mathbf{n} \Vert$.

Il punto $\mathbf {x}$ più vicino a un generico punto $\mathbf {p}$ appartenente all'iperpiano si trova nell'intersezione tra la retta di direzione $\mathbf{n}$ passante per $\mathbf {p}$ e il piano stesso:

$$\left\{ \begin{array}{l} \mathbf{p} + t \mathbf{n} = \mathb... ...\\ \mathbf{x} \cdot \mathbf{n} = \rho \\ \end{array}\right.$$ (1.53)

ovvero in

$$\mathbf{x} = \mathbf{p} - \frac{\mathbf{p} \cdot \mathbf{n} - \rho}{ \vert \mathbf{n} \vert^2 } \mathbf{n}$$ (1.54)

Tale formulazione è applicabile anche alle rette come si è già visto.

Per quanto riguarda i vari metodi per la generazione, nella sezione 3.6.3 verrà mostrato come ottenere la regressione ai minimi quadrati di un insieme di punti all'equazione di piano.

Come nel caso della retta, anche i parametri del piano in $\mathbb{R}^3$ possono essere espressi attraverso l'uso di 3 coordinate polari (azimuth, zenith e $\rho$):

$$x \sin \vartheta \cos \varphi + y \sin \vartheta \sin \varphi + z \cos \vartheta = \rho$$ (1.55)

equazione del piano espressa in coordinate polari sferiche (1.18).