Retta in coordinante polari

Le rette viste finora tendono ad avere una rappresentazione sovradimensionata rispetto ai gradi di libertà. La retta sul piano $\mathbb{R}^2$ infatti ha solo 2 gradi di libertà mentre la retta scritta in forma implicita dipende da ben 3 parametri, conosciuti a meno di un fattore moltiplicativo e senza un significato geometrico ben visibile. Dall'altra parte, l'equazione esplicita della retta a due parametri $y=mx + q$ presenta la singolarità delle rette verticali.

Figura 1.4: Retta espressa in coordinate polari.

Una soluzione al problema è cambiare parametrizzazione e sfruttare le coordinate polari. Usando le coordinate polari risulta possibile esprimere una retta in uno spazio bidimensionale senza singolarità e usando solo 2 parametri:

$$x \cos \theta + y \sin \theta = \rho$$ (1.46)

dove $\rho$ è la distanza tra la retta e il punto $(0,0)$ e $\theta$ è l'angolo che forma tale segmento distanza (ortogonale alla retta) e l'asse delle ascisse (figura 1.4). Si confronti tale rappresentazione con quella espressa in equazione (1.49). Sotto questa formulazione il legame tra questi due parametri e l'equazione della retta diventa non lineare.

Tale equazione è comunemente usata nella trasformata di Hough per le rette (sezione 3.11) per poter sfruttare uno spazio dei parametri bidimensionale e limitato.

Con questa particolare forma, la distanza tra un punto dello spazio $(x_i,y_i)$ e la retta si scrive in maniera molto compatta come

$$d = \vert x_i \cos \theta + y_i \sin \theta - \rho \vert$$ (1.47)