Distanza tra rette in $\mathbb{R}^3$R3

Nello spazio $\mathbb{R}^3$, e in generale in tutti gli spazi di dimensione superiore, due rette $\mathbf{l}_1$ e $\mathbf{l}_2$ possono non incrociarsi in nessun punto anche se non sono parallele. Tali rette si definiscono sghembe (skew lines). Per queste particolari rette un parametro di interesse è la loro distanza minima e, conseguentemente, i punti sulle due rette che rappresentano tale minimo.

Siano due rette formate da punti $\mathbf{x}_1$ e $\mathbf{x}_2$ di equazione

$$\begin{array}{l} \mathbf{x}_1 = \mathbf{p}_1 + t_1 \mathbf... ...\mathbf{x}_2 = \mathbf{p}_2 + t_2 \mathbf{v}_2 \\ \end{array}$$ (1.41)

dove $\mathbf {p}_1$ e $\mathbf {p}_2$ sono due generici punti appartenenti alle rette, $\mathbf{v}_1$ e $\mathbf{v}_2$ sono i vettori direzione, e $t_1,t_2 \in \mathbb{R}$ sono valori scalari, incognite del problema.

La “distanza” tra due generici punti sulle due rette è

$$\mathbf{d} = \mathbf{x}_2 - \mathbf{x}_1 = ( \mathbf{p}_2 +... ...athbf{v}_1) = \mathbf{r} + t_2 \mathbf{v}_2 - t_1 \mathbf{v}_1$$ (1.42)

avendo definito $\mathbf{r} = \mathbf{p}_2 - \mathbf{p}_1$. La quantità da minimizzare è $\Vert \mathbf{d} \Vert^2$, funzione di $t_1$ e $t_2$, il cui gradiente si annulla in

$$\begin{array}{l} \mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_1 t_1 - \mat... ...mathbf{v}_2 t_2 = \mathbf{v}_2 \cdot \mathbf{r} \\ \end{array}$$ (1.43)

Questo è un sistema lineare in $t_1$ e $t_2$ facilmente risolvibile e, con tale soluzione, si possono ricavare i due punti di minimo $\mathbf {p}_1$ e $\mathbf {p}_2$.

Esiste anche una formulazione alternativa al risolvere il sistema lineare giungendo allo stesso risultato attraverso considerazioni puramente geometriche. Si può dimostrare che la distanza tra le due rette in $\mathbb{R}^3$ vale

$$d = \frac{ \vert \mathbf{r} \cdot \mathbf{n} \vert }{\Vert \mathbf{n} \Vert }$$ (1.44)

avendo definito $\mathbf{n} = \mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2$. Il vettore $\mathbf{n}$, prodotto vettoriale, è per definizione ortogonale ad entrambe le rette e la distanza è la proiezione del segmento $\mathbf{r}$ lungo tale vettore. Si vede bene che quando le linee sono parallele ( $\mathbf{n}=\mathbf{0}$) non è possibile stabilire un valore ragionevole per la triangolazione.

Il piano formato dalla traslazione della seconda retta lungo $\mathbf{n}$ interseca la prima retta nel punto di minima distanza

$$\begin{array}{l} t_1 = \frac{\mathbf{r} \cdot \mathbf{v}_2... ...hbf{v}_2 \cdot \mathbf{v}_1 \times \mathbf{n} }\\ \end{array}$$ (1.45)

Indipendentemente dal formalismo scelto, mettendo questi valori dentro le equazioni 1.41 si ricavano le coordinate tridimensionali dei punti tra loro più vicini delle rette.