Regressione ortogonale a un piano

Si possono estendere le considerazioni fatte sulla retta anche per il piano. Va sottolineato che le regressione ortogonali di una retta, di un piano, o di un iperpiano, sono da considerarsi come un problema di autovalori e risolvibile attraverso la decomposizione SVD (è esattamente la principale applicazione della PCA).

Sia $\mathbf{p_0}=\E[\mathbf{p}]$ il centroide dei punti coinvolti nella regressione. Data l'equazione del piano (1.49) e come funzione errore la sommatoria delle distanze (1.52) si ottiene immediatamente il vincolo:

$$k = - \mathbf{p_0} \cdot \hat{n}$$ (3.83)

`ovvero, come già rilevato nel caso lineare, il centroide della distribuzione appartiene al piano. Partendo da questo primo vincolo, è possibile descrivere il piano come

$$(\mathbf{p} - \mathbf{p_0}) \cdot \hat{n} = 0$$ (3.84)

sistema omogeneo sovradimensionato, la cui soluzione si può ottenere con la pseudoinversa (ad esempio con la fattorizzazione QR o SVD). Il valore di $\hat{n}$ così ricavato sarà conosciuto a meno di un fattore moltiplicativo e per questo motivo si può sempre normalizzare, forzandolo alla lunghezza unitaria (le soluzioni ottenute attraverso fattorizzazioni sono solitamente già normalizzate).