Retta passante per due punti

Per due punti $(x_0,y_0)$ e $(x_1, y_1)$ dello spazio cartesiano $\mathbb{R}^2$ passa una retta implicita di equazione

$$(y_1 - y_0) x - (x_1 - x_0) y - y_1 x_0 + x_1 y_0 = 0$$ (1.27)

dove è ben visibile il fatto che non esistano singolarità e tutti i valori sono ammissibili. Indicando con $(d_x, d_y)$ la differenza tra i due punti, la retta passante per un punto $(x_0,y_0)$ e diretta lungo il vettore $(d_x, d_y)$ ha equazione

$$d_y x - d_x y + y_0 d_x - x_0 d_y = 0$$ (1.28)

Generalizzando al caso n-dimensionale, l'equazione della retta in $\mathbb{R}^{n}$, passante per due punti $\mathbf {p}$ e $\mathbf{q}$ scritti in forma omogenea, è il luogo dei punti $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$ tale che

$$\mathbf{x} = (1-t) \mathbf{p} + t \mathbf{q} = \mathbf{p} + t ( \mathbf{q} - \mathbf{p} )$$ (1.29)

equazione del raggio parametrico con $t \in \mathbb{R}$ valore scalare. I valori di $\mathbf {x}$ associati a valori $t \in [0,1]$ sono punti interni al segmento $(\mathbf{p},\mathbf{q})$.

Usando invece le coordinate omogenee, limitatamente al caso cartesiano bidimensionale, si ottiene il seguente risultato notevole: la retta di parametri $\mathbf{l}=(a,b,c)^{\top}$, passante per i punti $\mathbf{x}_1$ e $\mathbf{x}_2$, si ottiene come

$$\mathbf{l}=\mathbf{x}_1 \times \mathbf{x}_2$$ (1.30)

in quanto, un qualsiasi punto $\mathbf {x}$, per appartenere alla retta deve soddisfare l'equazione (1.26).