Camere inclinate rispetto a un piano

Esaminiamo il caso particolare in cui le camere sono allineate rispetto agli assi, hanno parametri intrinseci uguali, rotazione relativa nulla e siano inclinate dell'angolo di beccheggio pitch rispetto al piano $z=0$.

In questa particolare condizione la matrice di proiezione si semplifica leggermente assumendo la forma

$$\mathbf{K}\mathbf{R} = \begin{bmatrix} u_0 \cos \vartheta ... ...rtheta \\ \cos \vartheta & 0 & - \sin \vartheta \end{bmatrix}$$ (9.25)

È da notare che è stato usato il sistema di angoli RPY (appendice A.1) per la matrice $\mathbf{R}$.

La coordinata orizzontale $u$ di un generico punto $(x,y,z)$ in coordinate mondo vale di conseguenza:

$$u = u_{0} - \frac{ k_{u} (y - y_0) } { \cos \vartheta (x - x_0) - \sin \vartheta (z - z_0)}$$ (9.26)

Con le ipotesi di camere rettificate viste in precedenza, ovvero stessa orientazione e parametri intrinseci uguali, condizione che si può sempre ottenere con la rettificazione o considerando righe opportune dell'immagine, la matrice proiettiva (9.25) risulta essere la stessa nei due sistemi di riferimento differenti e, osservando l'equazione (9.26), l'unica differenza tra camere differenti risulta essere il solo numeratore a causa della differente posizione del pin-hole lungo l'asse delle $y$. Ne consegue che la differenza delle coordinate $u$ nelle due immagini $d = u_1 - u_2$ (disparità) vale

$$d = u_1 - u_2 = \frac{ k_u b } { \cos \vartheta (x - x_0) - \sin \vartheta (z - z_0)}$$ (9.27)

avendo definito nuovamente $b = y_1 - y_2$. Usando la relazione (9.26) nell'equazione (9.27) si ottiene il risultato notevole

$$u_i = u_{0} - d \frac{y - y_i}{ b }$$ (9.28)

da cui infine si ricava la coordinata $y$ del punto

$$y = - b \frac{u_i - u_0}{d} + y_i$$ (9.29)

Nel caso in cui le camere siano allineate perfettamente, l'unico parametro di calibrazione che incide sulla coordinata $y$ risulta essere la sola $b$.

La coordinata $v$ del punto si può scrivere invece come

$$v - v_0 = - \frac{k_v}{b k_u} ( \sin \vartheta (x - x_0) + \cos \vartheta (z - z_0) ) d$$ (9.30)

Da cui il sistema di equazioni:

$$\begin{matrix} \cos \vartheta (x - x_0) - \sin \vartheta (z... ..._0) = - \dfrac{v - v_0}{k_v} \dfrac{b k_u } { d } \end{matrix}$$ (9.31)

la cui soluzione che permette di ottenere le restanti due coordinate tridimensionali del punto dato è

$$\begin{matrix} x - x_0 = \dfrac{b k_u}{d} \left( \cos \var... ...{k_v} \cos \vartheta + \sin \vartheta \right) \\ \end{matrix}$$ (9.32)

V-Disparity

Un caso particolare di disparità è quando si osserva un piano, quello del terreno, che, per numero di punti, è preponderante sull'immagine. Nel caso in cui la baseline sia lungo l'asse $y$, la disparità del piano $z=0$ è solo funzione di $v$ e tale equazione risulta essere quella di una retta.

La relazione della disparità dalla coordinata $v$ si può ricavare dal valore di $x$ dalla seconda e sostituendolo nella prima delle equazioni (9.31):

$$\begin{matrix} x - x_{0} = \tan \vartheta (z - z_{0}) + \d... ...{k_v}{k_u} \dfrac{z - z_{0} }{ b \cos \vartheta } \end{matrix}$$ (9.33)

Dalla prima delle equazioni (9.33), si vede che l'espressione della disparità dipende solamente dalla distanza $x$ se l'altezza $z$ è fissata (ad esempio sul suolo), e dalla seconda si vede che la disparità $d$ cresce linearmente con la coordinata $v$ seguendo un coefficiente angolare noto

$$d = \cos \vartheta \dfrac{ b }{z_{0}} (v - v_{d=0} )$$ (9.34)

nel caso classico in cui $k_u \approx k_v$ (pixel quadrato). Il punto di disparità nulla $v_{d=0}$, sopra menzionato, si trova in

$$v_{d=0} = v_{0} - k_{v} \tan \vartheta$$ (9.35)

e dipende solo dall'apertura verticale e dal pitch (è ovviamente la stessa coordinata del vanishing point).