Tait-Bryan Angles

Un modo per definire la matrice di rotazione in 3 dimensioni consiste nel comporre tra loro rotazioni rispetto ai 3 assi principali del sistema di riferimento.

Definiamo $\vartheta$ l'angolo di beccheggio pitch, $\gamma$ l'angolo di imbardata yaw e $\rho$ l'angolo di rollio roll, angoli di orientazione del sensore rispetto al sistema di riferimento mondo^A.3 Tali angoli e tale nomenclatura sono definiti come Tait-Bryan Angles, Cardan Angles (da Girolamo Cardano) o nautical angles.

Di seguito saranno mostrate le matrici (come riferimento per esempio (LaV06)) che convertono un vettore da coordinate sensore a coordinate mondo attraverso angoli che rappresentano l'orientazione del sensore rispetto al mondo stesso e sono le medesime matrici che ruotano un vettore in senso antiorario (counterclockwise rotation of axes) rispetto ai vari assi del sistema di riferimento.

Gli assi di tale sistema di riferimento sono quelli mostrati in figura 8.4. Si faccia comunque attenzione perché per i veicoli terrestri e per le navi viene prediletto un sistema di riferimento diverso da quelli aeronautico.

La matrice di rotazione dell'angolo roll $\rho$ (asse X):

$$\mathbf{R}_{x} = \mathbf{R}_{\rho} = \begin{bmatrix} 1 &... ...& -\sin \rho \\ 0 & \sin \rho & \cos \rho \end{bmatrix}$$ (A.6)

La matrice di rotazione dell'angolo pitch $\vartheta$ (asse Y):

$$\mathbf{R}_y = \mathbf{R}_{\vartheta} = \begin{bmatrix} ... ...\ -\sin \vartheta & 0 & \cos \vartheta \\ \end{bmatrix}$$ (A.7)

La matrice di rotazione dell'angolo yaw $\gamma$ (asse Z):

$$\mathbf{R}_z = \mathbf{R}_{\gamma} = \begin{bmatrix} \co... ...\sin \gamma & \cos \gamma & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$ (A.8)

(La Valle (LaV06), pag. 80-81).

Come si è detto nella sezione precedente, la composizione di rotazioni non è commutativa ed è necessario fare una scelta.

In campo aeronautico viene suggerita come convenzione Roll-Pitch-Yaw (RPY). Sotto questa particolare convenzione la matrice di cambiamento di base (alias) si costruisce come $\prescript{w}{}{\mathbf{R}}_{b}=\mathbf{R}_z \mathbf{R}_y \mathbf{R}_x$^A.4 ovvero, eseguendo le moltiplicazioni,

$$\begin{bmatrix} \cos\gamma \cos\theta & \cos\gamma \sin\... ...a & \cos\theta \sin\rho & \cos\theta \cos \rho \end{bmatrix}$$ (A.9)

Va ricordato che tale matrice trasforma punti dalle coordinate mobili “sensore” (body coordinates nel caso generico) alle coordinate fisse “mondo”.

Nel caso specifico in cui il sensore fosse una camera pin-hole, usando questa convenzione e considerando l'equazione (A.5), la matrice di rotazione $\mathbf{R}$ della camera pin-hole che converte da coordinate “mondo” Front-Left-Up a coordinate “camera”, si può esprimere come prodotto di

$$\prescript{c}{}{\mathbf{R}}_{w} = \prescript{c}{}{\boldsym... ...o}^{-1} \mathbf{R}_{\vartheta} ^{-1} \mathbf{R}_{\gamma}^{-1}$$ (A.10)

ovvero

$$\begin{bmatrix} -\cos \gamma \sin \theta \sin \rho + \sin... ...theta & \sin \gamma \cos \theta & -\sin \theta \end{bmatrix}$$ (A.11)

Va ribadito che la matrice $\prescript{c}{}{\mathbf{R}}_{w}$, espressa come nella formula (A.10), è la matrice che “rimuove” la rotazione di un sensore avete quei particolari angoli di posizionamento e pertanto trasforma da coordinate “mondo” a coordinate “camera” mentre normalmente in letteratura si tende a indicare come matrice di rotazione quella matrice che converte da coordinate “sensore” a coordinate “mondo”.

È interessante notare che da un punto di vista puramente grafico, le colonne della matrice inversa/trasposta della matrice (A.11), la quale, quest'ultima, permette di trasformare punti da coordinate camera a coordinate mondo, permettono facilmente di disegnare gli assi e così rappresentare graficamente l'orientazione della camera.

Footnotes

... mondo^A.3

attenzione che non esiste neanche una notazione accettata univocamente sulle lettere greche da associare ai 3 angoli. Si può trovare per esempio $\phi$ per l'angolo di yaw e $\psi$ per l'angolo di roll.

...#tex2html_wrap_inline20376#^A.4

La sequenza z-y'-x” intrinsica (l'uso degli apici sottolinea questo tipo di trasformazione) generebbe invece $\mathbf{R}=\mathbf{R}_x \mathbf{R}_y \mathbf{R}_z$. Per creare ulteriore confusione la sequenza x-y'-z” è conosciuta come Roll-Pitch-Yaw (o Roll-Pitch-Yaw XYZ), mentre la sequenza z-y'-x” (intrinseca) è comunemente conosciuta come Yaw-Pitch-Roll (o Roll-Pitch-Yaw ZYX).