Inverse Perspective Mapping

Si sono viste nelle sezioni precedenti esempi di prospettiva inversa: la possibilità di ricavare il punto 3D dato un punto immagine 2D e la conoscenza di un vincolo nel mondo sulla cui superficie il punto giace. É sempre possibile infatti creare un sistema tra il raggio ottico (8.19) è una varietà in $\mathbb{R}^3$:

$$\left\{ \begin{array}{l} \mathbf{x} = \lambda \mathbf{V} \mathbf{p} + \mathbf{t} \\ f(\mathbf{x}) = 0 \\ \end{array}\right.$$ (8.41)

avendo chiamato $\mathbf{V}=\mathbf{R}^{-1}\mathbf{K}$. Questa stessa formulazione si usa in grafica computazionale per indicare le tecniche di RayTracing. Generalizziamo in questa sezione diverse casistiche.

Intersezione raggio ottico e piano

Un generico piano in $\mathbb{R}^3$ scritto nella forma

$$\hat{\mathbf{n}} \cdot \mathbf{x} + q = 0$$ (8.42)

è un vincolo per permettere l'intersezione tra il raggio ottico (8.19) e il piano (8.42). Il sistema (8.41) è lineare e può essere risolto per $\lambda$ e da $\lambda$ inserita nella prima equazione determinare il punto 3D. É possibile realizzare anche una applicazione lineare associata all'intersezione piano retta nella forma $\mathbf{x} \equiv \mathbf{A}_{4 \times 3} \mathbf{p}$ avendo definito

$$\mathbf{A}_{4 \times 3} = \begin{bmatrix} \left( \hat{\math... ...{\top} \\ \hat{\mathbf{n}}^{\top} \end{bmatrix} \mathbf{V}$$ (8.43)

Intersezione raggio ottico e una sfera

La varietà ha equazione

$$\left\Vert \mathbf{x} - \mathbf{x}_0 \right\Vert^2 = r^2$$ (8.44)

che unita al sistema (8.41) permette di ottenere

$$\lambda^2 \left\Vert \mathbf{V} \mathbf{p} \right\Vert^2 + 2... ...ht) + \left\Vert \mathbf{t} - \mathbf{x}_0 \right\Vert^2 = r^2$$ (8.45)

La soluzione dell'equazione di secondo grado può pertanto avere 0 (nessuna intersezione), 1 (raggio ottico tangente alla sfera) o 2 radici (il raggio ottico interseca la sfera).