Calibrazione secondo Tsai

La calibrazione della camera per diverse applicazioni richiede la conoscenza completa dei parametri intrinseci ed estrinseci. Uno dei metodi più diffusi è sicuramente quello di Tsai (Tsa87) del 1985. Il pregio di Tsai è stato quello di dare ordine allo stato dell'arte discusso in precedenza e fornire una nomenclatura unica ed accettata per i parametri della camera come qui presentati.

Il modello della camera di Tsai è basato sulla proiezione prospettica della Pin-Hole Camera, ed è formato (nella sua forma classica) da 11 parametri:

f

Lunghezza focale della camera

k

Coefficiente di distorsione radiale di primo ordine

Cx,Cy

Coordinate del centro ottico della lente

Sx

Un fattore di scala orizzontale

Rx, Ry, Rz

Angoli di rotazione per la trasformazione tra coordinate mondo e coordinate camera

Tx, Ty, Tz

Vettore di traslazione per la trasformazione tra coordinate mondo e coordinate camera

Tsai esegue sia una analisi di tutte le tecniche sviluppate finora per la calibrazione, e infine propone un sistema a moduli, dove ogni modulo permette di ricavare una serie di questi parametri.

Principalmente fa notare che se la camera è distorta ma si pone il principal point coincidente con il centro di distorsione valgono i rapporti:

$$\frac{u_{d}}{v_{d}} = \frac{u_{u}}{v_{u}}$$ (8.65)

e di conseguenza è possibile creare vincoli sotto questa condizione usando le coordinate distorte piuttosto che quelle non distorte. Tale metodo pertanto è chiamato anche radial alignment constraint (RAC).

Inizialmente usando i parametri della camera forniti dal produttore calcola il vettore traslazione e rotazione da una griglia con punti coplanari $z_i=0$ di coordinate note, sfruttando il vincolo

$$(r_0 x_i + r_1 y_i + \tilde{t}_x) u'_i = (r_3 x_i + r_4 y_i + \tilde{t}_y) v'_i$$ (8.66)

con $(u'_i, v'_i)$ coordinate camera normalizzate usando i parametri della camera e della lente forniti dal produttore. Da questo vincolo si può creare un sistema lineare sovradimensionato di tipo

$$\begin{bmatrix} x_i u'_i & y_i u'_i & u'_i & - v'_i x_i & ... ...}{\tilde{t}_y} \frac{r_4}{\tilde{t}_y} \end{bmatrix} = v'_i$$ (8.67)

avendo posto $\tilde{t}_y \neq 0$ (ovvero la griglia non deve passare per l'asse ottico). I rimanenti parametri della matrice $\mathbf{R}$ vengono ottenuti usando l'equazione (8.23).

Successivamente procede nel ricavare i parametri intrinseci corretti usando questi valori per la matrice di rotazione e traslazione.