Proprietà della matrice di rotazione

La matrice di rotazione verrà spesso indicata nel testo, in modo da compattarne la scrittura, come array del linguaggio C:

$$\mathbf{R} = \begin{bmatrix} r_{0} & r_{1} & r_{2} \\ r_{3} & r_{4} & r_{5} \\ r_{6} & r_{7} & r_{8} \end{bmatrix}$$

La matrice di rotazione è una matrice molto sovradimensionata: i suoi 9 parametri linearmente indipendenti sono di fatto generati da 3 variabili in modo non lineare (si veda appendice).

Senza esplicitare gli angoli da cui la matrice è generata, risulta possibile fornire qualche vincolo aggiuntivo. La matrice di rotazione ha la proprietà di non modificare le distanze essendo ortonormale e $\det(\mathbf{R})=1$. Ogni riga e ogni colonna devono avere modulo unitario, ed ogni riga e ogni colonna sono ortonormali tra loro, in quanto basi ortonormali dello spazio. Conoscendo pertanto due vettori riga o colonna della matrice $\mathbf{r}_1$, $\mathbf{r}_2$ è possibile determinare la terza base come prodotto vettoriale dei precedenti due:

$$\mathbf{r}_3 = \mathbf{r}_1 \times \mathbf{r}_2$$ (8.22)

Allo stesso modo il prodotto scalare tra due vettori riga o due vettori colonna deve dare valore nullo, in quanto ortogonali tra di loro. Sotto tali vincoli, esistono due soluzioni esatte, di cui una è:

$$\mathbf{R} = \begin{bmatrix} r_{0} & r_{1} & (1 - r_{0}^2 - ... ... + r_{1}^2 + r_{3}^2 + r_{4}^2 - 1)^{\frac{1}{2}} \end{bmatrix}$$ (8.23)

dove $s = sgn(r_{1}r_{4} + r_{2}r_{5})$, mentre l'altra soluzione ha esattamente i segni invertiti. Conoscendo una sottomatrice $2 \times 2$ è possibile ricavare gli altri elementi della matrice stessa a meno di un segno, basandosi sempre sul fatto che ogni riga e colonna hanno norma unitaria.