Risultati Notevoli

Possiamo usare la matrice di rotazione e l'equazione della pin-hole (8.18) per mostrare qualche risultato notevole. Definiamo, dal sistema, la funzione $f_{pm}$ di $\mathbb{R}^{3}$ in $\mathbb{R}^{2}$ chiamata perspective mapping definita come:

$$f_{pm}(x,y,z) = \left( k_{u} \frac{r_{0} x + r_{1} y + r_... ..._{4} y + r_{5} z}{r_{6} x + r_{7} y + r_{8} z} + v_0 \right)$$ (8.24)

funzione del modello della pin-hole camera scritta in maniera esplicita. Per semplicità si è supposto il pin-hole coincidere con l'origine del sistema di riferimento.

I punti di fuga e calibrazione

Per ogni immagine esistono 3 punti di fuga, strettamente legati alla scelta degli assi di riferimento.

Prendiamo per esempio il primo asse. Nel nostro sistema di riferimento la coordinata $x$ è la distanza (per le altre 2 coordinate il discorso è similare). Portiamo tale coordinata a infinito mantenendo le altre costanti. Quello che si ottiene è il punto

$$\lim_{x\to\infty}f_{pm}(x,y,z) = \left( k_{u} \frac{r_{0}}{r_{6}} + u_0, k_{v} \frac{r_{3}}{r_{6}} + v_0 \right)$$ (8.25)

Usando le matrici omogenee è possibile ottenere lo stesso risultato, con un formalismo più compatto.

Prendendo la trasformazione prospettica (8.17) e mandando via via $x\rightarrow\infty$, $y\rightarrow\infty$ e $z\rightarrow\infty$, i punti immagine (in coordinate omogenee) che si ottengono, rappresentati i punti di fuga nelle 3 direzioni, sono esattamente le colonne della matrice $[\mathbf{v}_x \mathbf{v}_y \mathbf{v}_z] = \mathbf{K} \cdot \mathbf{R}$, ovvero :

$$\begin{array}{rl} \mathbf{v}_{x} &= \mathbf{K} \mathbf{r}_... ...} \\ \mathbf{v}_{z} &= \mathbf{K} \mathbf{r}_{3} \end{array}$$ (8.26)

avendo indicato con la sintassi $\mathbf{r}_{i}$ le colonne della matrice $\mathbf{R}$. Questo è un primo esempio di calibrazione della camera che sfrutta una conoscenza dell'immagine, ovvero la posizione dei punti di fuga.

In particolare, ponendosi nel caso semplificato $u_0=0$, $v_0=0$ e $k_\gamma = 0$, i punti di fuga si trovano in

$$\begin{array}{rl} \mathbf{v}_{x} &= \left( k_u \dfrac{r_0}... ...\dfrac{r_2}{r_8}, k_v \dfrac{r_5}{r_8} \right) \\ \end{array}$$ (8.27)

È da notare che siccome le 3 colonne di $\mathbf{R}$ sono ortonormali basta conoscere 2 punti di fuga per ottenere sempre il terzo (vedi sezione precedente).

Horizon Line

Se mandiamo a infinito non una variabile ma più di una otteniamo più di un punto. Per $x\to\infty$ ma con $y = m x$ il vanishing point degenera in una linea di equazione

$$k_{v} (r_{3} r_{7} - r_{4} r_{6}) u + k_{u} (r_{6} r_{1} - r_{7} r_{0}) v + k_{u} k_{v} (r_{4} r_{0} - r_{3} r_{1}) = 0$$ (8.28)

linea dell'orizzonte.

Punti e Linee degeneri

Come un punto nell'immagine proiettata degenera in una linea, una linea di equazione $au +bv +c =0$ diventa nell'immagine proiettata

$$a k_u (r_{0} x + r_{1} y + r_{2} z) + b k_v (r_{3} x + r_{4} y + r_{5} z) + c(r_{6} x + r_{7} y + r_{8} z) = 0$$

ovvero

$$(a k_u r_{0} + b k_v r_{3} + c r_{6} ) x + (a k_u r_{1} + b... ...{4} + c r_{7}) y + (a k_u r_{2} + b k_v r_{5} + c r_{8}) z = 0$$ (8.29)

che rappresenta il piano degenere (con normale come da equazione) in tre dimensioni che passa per l'origine (il pin-hole).