Incrocio di due rette

Siano ora $\ell_1$ e $\ell_2$ due rette di parametri $\mathbf{l}_1$ e $\mathbf{l}_2$ intersecanti nel punto $\mathbf {x}$ espresso in coordinate omogenee. Per ottenere il punto di incontro è necessario risolvere un sistema, omogeneo, nella forma

$$\left\{ \begin{array}{rl} \mathbf{l}_1^{\top} \mathbf{x} &... ... \mathbf{l}_2^{\top} \mathbf{x} & = 0 \\ \end{array} \right.$$ (1.39)

Il sistema, del tipo $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$, può anche essere esteso al caso di n rette intersecanti, con $n > 2$, ottenendo un sistema sovradimensionato risolvibile con la tecnica della decomposizione SVD o QR. La soluzione del problema sovradimensionato, affetto da rumore, rappresenta il punto che minimizza il residuo algebrico di equazione (1.39).

Nel caso di due sole rette, il sistema (1.39) fornisce direttamente la soluzione. L'intersezione tra due rette $\mathbf{l}_1$ e $\mathbf{l}_2$, scritte in forma implicita (1.23), è il punto $\mathbf{x} = \mathbf{l}_1 \times \mathbf{l}_2$ espresso in coordinate omogenee, dove $\times$ è il prodotto vettoriale.

È da notare che, siccome le coordinate omogenee possono rappresentare punti all'infinito, questo particolare formalismo ammette anche il caso in cui le due rette siano parallele.