Rette in $\mathbb{R}^3$

Si può vedere una generica retta in uno spazio $\mathbb{R}^n$ come interpolazione di due punti dello stesso spazio:

$$\mathbf{x} = \lambda \mathbf{p} + (1-\lambda) \mathbf{q}$$ (1.36)

Nel caso specifico di $\mathbb{R}^3$ queste equazioni richiedono 6 parametri da stimare (una “bounded 3D line” ha in effetti 6 gradi di libertà).

Una retta nello spazio $\mathbb{R}^n$ può essere vista come un punto più un versore:

$$\mathbf{x} = \mathbf{x}_0 + t \hat{\mathbf{v}}$$ (1.37)

Nel caso specifico di $\mathbb{R}^3$ queste equazione richiedono 5 parametri (in quanto un versore può essere descritto da solo 2 variabili). In questo caso il luogo dei punti si può ricavare moltiplicando per $\times \hat{\mathbf{v}}$:

$$\mathbf{x} \times \hat{\mathbf{v}} = \mathbf{x}_0 \times \hat{\mathbf{v}} = \mathbf{n}$$ (1.38)

Il vettore $\mathbf{x}_0 \times \hat{\mathbf{v}}$ descrive ovviamente un vettore ortogonale agli altri due ma la cui lunguezza è importante. Questa rappresentazione è identica a quella che si ottiene usando il sistema di coordinate Pluckeriane.

Nello spazio $\mathbb{R}^3$ la retta è il luogo di punti dell'intersezione di 2 piani (di cui uno potenzialmente passante per l'origine). Anche in questo caso parliamo di almeno 5 parametri da stimare.

Tuttavia in $\mathbb{R}^3$ le rette hanno solo 4 gradi di libertà: possiamo infatti vedere che ogni linea è tangente a una sfera di raggio $r$, intersecante nel punto $m=(r, \theta, \phi)$ in coordinate sferiche. L'ultimo parametro è un angolo di rotazione $\gamma$ intorno al vettore $m$ per indicare la direzione della linea (questa parte richiede un paio di condizioni ulteriori per evitare singolarità).