Proiezione Stereografica

Una alternativa abbastanza comune per parametrizzare la sfera $S^n$ è usare la proiezione stereografica per trasformare coordinate dallo spazio della varietà $\mathbb{R}^{n}$ (spazio parametri) a $\mathbb{R}^{n+1}$ (spazio cartesiano) e viceversa.

Figura 1.3: Proiezione stereografica.

Nella sfera tridimensionale $S^2$, è possibile definire una funzione $\varphi_{+3}$ come proiezione stereografica dallo spazio $U_{+3} := S^2 / \left[0,0,1\right]^{\top}$ a $\mathbb{R}^{2}$:

$$\begin{array}{c} \varphi_{+3} : U_{+3} \mapsto \mathbb{R}^... ...ac{1}{1-z} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \end{array}$$ (1.20)

insieme alla sua inversa

$$\varphi_{+3}^{-1} \left( \left[u,v \right]^{\top} \right) =... ... \begin{bmatrix} 2u \\ 2v \\ -1 + u^2 + v^2 \end{bmatrix}$$ (1.21)

avendo indicato con $\left[0,0,1\right]^{\top}$ il “polo nord” della sfera. $\varphi_{+3}$ e $\varphi^{-1}_{+3}$ sono continue in $U_{+3}$ e dunque la proiezione stereografica è un omeomorfismo. In questa proiezione si crea una relazione tra il punto $(u,v,0)$ sul piano $z=0$ e il punto sulla sfera $(x,y,z)$ intersezione tra il raggio proiettivo che unisce l'origine $(0,0,1)^{\top}$ (unico punto di singolarità) con il punto del piano e la sfera di raggio unitario, come mostrato in figura 1.3.

Allo stesso modo possono essere definiti degli spazi $U_{\pm i} := S^2 / \pm e_i$ dove gli $e_i$ sono i versori unitari dentro i quali definire 6 parametrizzazioni simili (ognuna con la sua diversa singolarità) e questo permette di scegliere la parametrizzazione più opportuna in modo da operare nel punto più distante dalla singolarità di quella specifica formula.