Filtro di Kalman Esteso

Il filtro di Kalman esteso Extended Kalman Filter (EKF) è una versione non-lineare del filtro di Kalman usata quando l'evoluzione o l'osservazione dello stato del sistema sono non-lineari.

Un sistema non lineare a tempo discreto, formato dall'evoluzione dello stato e dalla sua osservazione, può essere scritto in forma generalizzata come

$$\left\{ \begin{array}{rl} \mathbf{x}_{k+1} & = f (\mathbf{x}... ..._k & = h (\mathbf{x}_{k}, \mathbf{v}_k) \\ \end{array}\right.$$ (2.117)

dove, oltre allo stato $\mathbf{x}_{k}$ e agli ingressi $\mathbf{u}_{k}$, anche gli errori di processo $\mathbf{w}_{k}$ e di osservazione $\mathbf{v}_k$ possono influire in maniera non lineare nell'evoluzione dello stato $f$ e nell'osservazione $h$, generalizzando anche il concetto di rumore additivo usato in precedenza.

Per poter essere applicato, EKF richiede il calcolo degli Jacobiani sia di $f$ che di $h$. Applicando la teoria mostrata nella sezione 2.6 sulla propagazione dell'incertezza in funzioni non lineari, attraverso le matrici delle derivate è possibile sfruttare le stesse formulazioni matematiche fatte per il caso di Kalman lineare su funzioni non-lineari usando come matrici

$$\begin{array}{ll} \mathbf{A}_k = \left. \frac{\partial f(\ma... ...\partial \mathbf{v}}\right\vert _{\bar{\mathbf{x}}} \end{array}$$ (2.118)

e usando come equazione di aggiornamento

$$\hat{\mathbf{x}}_{k} = \hat{\mathbf{x}}^{-}_{k} + \mathbf{K}_k( \mathbf{z}_k - h(\hat{\mathbf{x}}^{-}_{k}) )$$ (2.119)

È comunque da notare che anche il calcolo del residuo $\mathbf{z}_k - h(\hat{\mathbf{x}}^{-}_{k})$ può essere una funzione non lineare (per esempio quando si esegue un confronto tra angoli ed esiste una periodicità dell'errore).

Rispetto a Kalman lineare, la versione EKF risulta una scelta sub-ottima come stimatore ma comunque ampiamente accettata e usata in applicazioni pratiche. Il filtro di Kalman esteso, per sua costruzione, raggiunge solo una precisione di primo ordine ma permette comunque risultati vicini all'ottimo nel caso di funzionamento del filtro in punti in cui le derivate seconde sono nulle.