Autovalori e Autovettori

Gli autovalori e autovettori sono stati già anticipati nella sezione precedente. In questa verrà fatta una trattazione minimale per poterli usare in maniera proficua.

Definizione 1   Data una matrice quadrata $\mathbf{A}$ di ordine $n$, un numero (reale o complesso) $\lambda$ e un vettore non nullo $\mathbf {x}$ sono detti rispettivamente autovalore e autovettore di $\mathbf{A}$ se vale la relazione

$$\mathbf{A}\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}$$ (1.10)

$\mathbf {x}$ è anche detto autovettore associato all'autovalore $\lambda$.

Un autovettore è un vettore $\mathbf{x} \neq 0$ che non cambia direzione a seguito della trasformazione (applicazione) lineare geometrica $\mathbf{A}$ ma cambia solo il modulo di un fattore $\lambda$ detto autovalore.

Riscrivendo il sistema (1.10) usando la matrice identità $\mathbf{I}$, segue che autovalore e autovettore associato si ottengono come soluzione del sistema omogeneo:

$$(\mathbf{A} - \lambda\mathbf{I})\mathbf{x}=0$$ (1.11)

Se $\mathbf {x}$ è un autovettore di $\mathbf{A}$ associato all'autovalore $\lambda$ e $t \neq 0$ un numero (reale o complesso), allora anche $t\mathbf{x}$ è un autovettore di $\lambda$.

In generale l'insieme dei vettori $\mathbf {x}$ associati a un autovalore $\lambda$ di $\mathbf{A}$ forma un sottospazio di $\mathbb{R}^{n}$ chiamato autospazio. La dimensione di questo sottospazio è detta molteplicità geometrica dell'autovalore.

Definizione 2   Il polinomio caratteristico di $\mathbf{A}$ nella variabile $x$ è il polinomio definito nel modo seguente:

$$p(x) = \det (\mathbf{A} - x \mathbf{I} )$$ (1.12)

Dalla definizione (1.11) si evince che $\lambda$ è un autovalore se e solo se $p(\lambda)=0$. Le radici del polinomio caratteristico sono gli autovalori di $\mathbf{A}$ e di conseguenza il polinomio caratteristico ha grado pari alla dimensione della matrice. Le matrici $2 \times 2$ e $3 \times 3$ hanno polinomi caratteristici notevoli.

Proprietà degli Autovalori e Autovettori

• $\mathbf{A}$ e $\mathbf{A}^{\top}$ hanno gli stessi autovalori;
• Se $\mathbf{A}$ è non singolare, e $\lambda$ è un suo autovalore, allora $\lambda^{-1}$ è autovalore di $\mathbf{A}^{-1}$;
• Se $\mathbf{A}$ è ortogonale, allora $\vert \lambda \vert=1$;
• $\lambda=0$ è autovalore di $\mathbf{A}$ se e solo se $\det(\mathbf{A})=0$;
• Gli autovalori di matrici diagonali e triangolari (superiori e inferiori) sono gli elementi della diagonale principale;
• La somma degli elementi diagonali è uguale alla somma degli autovalori ovvero $\trace \mathbf{A} = \sum \lambda_i$;
• Il determinante di una matrice è uguale alla produttoria dei propri autovalori ovvero $\det \mathbf{A} = \prod \lambda_i$;
• Le matrici simmetriche hanno autovalori reali e autovettori ortogonali pertanto l'insieme corrispondente di autovettori unitari $\left\{\mathbf{v}_i\right\}$ è un insieme di vettori ortonormali;
• Una matrice quadrata $\mathbf{A}$ può essere espressa in termine della matrice degli autovalori $\mathbf{D}=\diag \left( \lambda_1, \ldots, \lambda_n \right)$ e autovalori $\mathbf{V}$ nella forma
  

  $$\mathbf{A} = \mathbf{V} \mathbf{D} \mathbf{V}^{-1}$$ (1.13)

  
  

• Una matrice quadrata simmetrica $\mathbf{A}$ può essere espressa in termine dei suoi autovalori $\lambda_i$ reali e autovalori $\left\{\mathbf{v}_i\right\}$ nella forma
  

  $$\mathbf{A} = \mathbf{V} \mathbf{D} \mathbf{V}^{\top} = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i \mathbf{v}_i \mathbf{v}^{\top}_i$$ (1.14)

  
  
  detta decomposizione spettrale di $\mathbf{A}$.