Posa relativa tra sensori

Introduciamo per nomenclatura, le relazioni che intercorrono tra vari sistemi di riferimento e che verrà usata all'interno di questo libro. Ulteriore nomenclatura sui sistemi di coordinate si troverà poi nella futura sezione 8.2 a cui bisogna in parte far riferimento per alcuni termini.

Sia $\prescript{w}{}{\mathbf{x}} \in \mathbb{R}^3$ un punto espresso in coordinate “globali”, “mondo” (world coordinates) e sia $\prescript{s}{}{\mathbf{x}}$ lo stesso punto espresso però in coordinate “locali”, “sensore” (o body nel caso generico di un sistema in movimento rispetto a un altro). La coordinata $\prescript{s}{}{\mathbf{x}}$ rappresenta una informazione spaziale rilevata dal mero sensore: tale coordinata pertanto non possiede la conoscenza di come il sensore sia posizionato e orientato nello spazio mondo. Anche se rappresentanti il medesimo punto fisico, le coordinate espresse dai due punti sono infatti differenti in quanto sono rappresentate in due sistemi di riferimento differenti: uno rappresenta una posizione intesa come assoluta (il mondo), mentre il secondo rappresenta il punto visto dal sensore, dove il sensore è al centro del sistema di riferimento allineato rispetto agli assi.

Definizione 4   La relazione che lega le coordinate mondo a quelle sensore è

$$\prescript{w}{}{\mathbf{x}} = \prescript{w}{}{\mathbf{R}_{s}} \prescript{s}{}{\mathbf{x}} + \prescript{w}{}{\mathbf{t}}$$ (1.63)

con $\prescript{w}{}{\mathbf{R}_{s}}$ matrice di rotazione che permette di trasformare un punto da coordinate sensore a coordinate mondo e $\mathbf{t}$ posizione del sensore rispetto all'origine del sistema di riferimento.

Siano ora, indicati con i numeri 1 e 2, due generici sensori legati al comune sistema di riferimento mondo $w$ attraverso i parametri $(\prescript{w}{}{\mathbf{R}}_1, \prescript{w}{}{\mathbf{t}}_1)$ e $(\prescript{w}{}{\mathbf{R}}_2, \prescript{w}{}{\mathbf{t}}_2)$ rispettivamente, espressi come in definizione 4.

Sia $(\prescript{1}{}{\mathbf{R}}_2,\prescript{1}{}{\mathbf{t}}_{2,1})$ la posa “relativa” del sensore 2 rispetto al sensore 1, posa che permette di convertire un punto dal sistema di riferimento sensore 2 al sistema di riferimento sensore 1:

$$\prescript{1}{}{\mathbf{x}} = \prescript{1}{}{\mathbf{R}}_2 \prescript{2}{}{\mathbf{x}} + \prescript{1}{}{\mathbf{t}}_{2,1}$$ (1.64)

La matrice $\prescript{1}{}{\mathbf{R}}_2$, che rappresenta l'orientazione del sensore 2 rispetto al sensore 1, trasforma le coordinate sensore mentre $\prescript{1}{}{\mathbf{t}}_{2,1}$ è la posa del sensore 2 rispetto al sensore 1 espressa nel sistema di riferimento 1.

I parametri della posa relativa si ricavano dalle pose dei singoli sensori, pose espresse rispetto ad un terzo sistema di riferimento (il sistema mondo), attraverso le relazioni:

$$\begin{array}{l} \prescript{1}{}{\mathbf{R}}_2 = \mathbf{R... ... \mathbf{R}_1^{-1} ( \mathbf{t}_2 - \mathbf{t}_1 ) \end{array}$$ (1.65)

D'ora in poi, per alleggerire la notazione, sottintendiamo il sistema di riferimento mondo $w$ e pertanto, quando non indicato, le coordinate sono riferite a questo sistema e il cambiamento di base porta anche esso verso quest'ultimo.

La posa relativa opposta $(\prescript{2}{}{\mathbf{R}}_1,\prescript{2}{}{\mathbf{t}}_{1,2})$, che trasforma dal sistema 2 al sistema 1, si può ottenere da $(\prescript{1}{}{\mathbf{R}}_2,\prescript{1}{}{\mathbf{t}}_{2,1})$ come

$$\begin{array}{l} \prescript{2}{}{\mathbf{R}}_1 = \mathbf{R... ...hbf{R}}^{\top}_2 \prescript{1}{}{\mathbf{t}}_{2,1} \end{array}$$ (1.66)

Data la conoscenza della posa relativa tra i sensori e della posa assoluta di uno dei due (in questo caso per semplicità il sensore 1) è possibile ricavare la posa assoluta del secondo sensore attraverso la trasformazione

$$\begin{array}{l} \mathbf{R}_2 = \mathbf{R}_1 \prescript{1}... ...1 \prescript{1}{}{\mathbf{t}}_{2,1} + \mathbf{t}_1 \end{array}$$ (1.67)