Trasformazioni geometriche

Le trasformazioni geometriche dei punti del piano sono trasformazioni biunivoche che ad ogni punto del piano associano uno ed un solo punto del piano stesso.

Le trasformazioni geometriche si possono classificare in

Affinità

Nel piano cartesiano la trasformazione affine è una applicazione biettiva che associa il punto $\mathbf {p}$ al punto $\mathbf{p}'$ attraverso una funzione del tipo

$$\mathbf{p}' = \mathbf{A} \mathbf{p} + \mathbf{t}$$ (1.60)

Una affinità gode delle seguenti proprietà:

• trasforma rette in rette;
• conserva la colinearità tra i punti;
• conserva il parallelismo e incidenza tra rette;
• in generale non conserva la forma ne gli angoli.

Essendo biettiva la trasformazione affine è invertibile, e l'inversa è anche essa una trasformazione affine di parametri

$$\mathbf{p} = \mathbf{A}^{-1} \mathbf{p}' - \mathbf{A}^{-1} \mathbf{t} = \mathbf{A}' \mathbf{p}' + \mathbf{t}'$$ (1.61)

Similitudine

Una similitudine è una trasformazione affine che preserva il rapporto tra le dimensioni e gli angoli.

La forma dell'equazione è uguale a quella trasformazione affine (1.60) ma può rappresentare solo cambiamenti di scala, riflessioni, rotazioni e traslazioni. A seconda del segno del determinante di $\mathbf{A}$ le similitudini si dividono in dirette (determinante positivo) che preservano l'orientazione o inverse (determinante negativo) dove l'orientazione risulta ribaltata.

Isometria

Le isometrie sono trasformazioni simili che conservano le distanze:

$$\Vert f(\mathbf{x}) - f(\mathbf{y}) \Vert = \Vert x - y \Vert$$ (1.62)

per ogni $x,y \in \mathbb{R}^n$.

Le isometrie tra spazi euclidei si scrivono come in equazione (1.60) dove però $\mathbf{A}$, condizione necessaria e sufficiente perché sia una isometria, deve essere una matrice ortogonale.

Essendo ortogonale la matrice $\mathbf{A}$ deve avere determinante $\pm1$. Come per le similitudini, se $\det\mathbf{A}=1$ si dice che l'isometria è diretta, mentre se $\det\mathbf{A}=-1$ l'isometria è inversa.

Sono per esempio isometrie

• traslazioni;
• rotazioni;
• simmetrie centrali ed assiali.