Coniche

La conica è una curva algebrica luogo dei punti ottenibili come intersezione tra un cono a base circolare e un piano. L'equazione di una conica scritta in forma implicita è

$$a x^2 + b xy + c y^2 + d x + e y + f = 0$$ (1.56)

È da notare che i parametri della conica sono conosciuti a meno di un fattore moltiplicativo.

L'equazione (1.56) mostra l'equazione della conica scritta in coordinate cartesiane tradizionali, inomogenee. L'uso di coordinate omogenee permette la scrittura di equazioni quadratiche in forma matriciale.

Se al posto delle coordinate cartesiane vengono usate le coordinate omogenee, applicando la sostituzione $x = x_1 / x_3$ e $y = x_2 / x_3$, si può ottenere l'equazione della conica espressa in forma omogenea:

$$a x^2_1 + b x_1 x_2 + c x^2_2 + d x_1 x_3 + e x_2 x_3 + f x^2_3 = 0$$ (1.57)

In questo modo è possibile rappresentare l'equazione (1.56) in forma matriciale

$$\mathbf{x}^{\top} \mathbf{C} \mathbf{x}=0$$ (1.58)

dove $\mathbf{C}$ è la matrice simmetrica $3 \times 3$ dei parametri e $\mathbf {x}$ è il luogo dei punti (espresso in coordinate omogenee) della conica. Essendo espressa da rapporti omogenei questa matrice è definita a meno di un fattore moltiplicativo. La conica è definita da 5 gradi di libertà ovvero dai 6 elementi della matrice simmetrica meno il fattore di scala.

Per il dualismo punto-retta, la linea $\mathbf{l}$ tangente a una conica $\mathbf{C}$ nel punto $\mathbf {x}$ è semplicemente $\mathbf{l}= \mathbf{C}\mathbf{x}$.

La scrittura della conica in equazione (1.58) ha la forma di una curva definita da un luogo di punti e perciò è anche chiamata point conic perché definisce l'equazione della conica usando punti dello spazio. Usando il teorema di dualità è anche possibile esprimere una conica $\mathbf{C}^* \propto \mathbf{C}^{-1}$, duale della $\mathbf{C}$, in funzione, questa volta, di rette: una linea tangente $\mathbf{l}$ alla conica $\mathbf{C}$ soddisfa $\mathbf{l}^{\top} \mathbf{C}^{*} \mathbf{l} = 0$.

Nella sezione 3.6.7 verranno presentate tecniche atte a stimare i parametri che codificano una conica dati i punti.