Splattering 2D di Gaussiane

Lo Splattering di Gaussiane 2D può essere visto come alternativa più semplice alle Gaussiane 3D e da un punto di vista storico erano già state introdotte precedententemente.

Le gaussiane 2D sono rappresentate da un punto centrale $\mathbf{p}_k$, da due vettori unitari tangenti ($\mathbf{t}_u$, $\mathbf{t}_v$) e un fattore di scala $\mathbf{S}=(s_u,s_v)$ che controlla la varianza in 2 dimensioni della gaussiana.

Si può organizzare l'orientazione della gaussiana 2D in una matrice $3 \times 3$ di rotazione $\mathbf{R} = [t_u, t_v, t_w]$ (parametrizzabile come classica rotazione in 3D) avendo definito $t_w = t_u \times t_v$ e i fattori di scala in una matrice diagonale $\mathbf{S}=\diag (s_u, s_v, 0)$.

La gaussiana 2D è pertanto definita su un piano tangente di equazione

$$P(u,v) = \mathbf{p}_k + s_u \mathbf{t}_u u + s_v \mathbf{t}_v v = \mathbf{H} (u,v,1,1)^{\top}$$ (9.103)

avendo definito la matrice omografica $\mathbf{H}=\begin{bmatrix} s_u \mathbf{t}_u & s_v \mathbf{t}_v & 0 & \mathbf{p... ...begin{bmatrix} \mathbf{R} \mathbf{S} & \mathbf{p}_k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$. Ad ogni punto $(u,v)$ in coordinate del piano è chiaramente associata una gaussiana di equazione $e^{\frac{u^2 + v^2}{2}}$.