Perspective Mapping e Inverse Perspective Mapping

Usando l'omografia è possibile realizzare la trasformazione di inverse perspective mapping (o bird eye view) invertendo semplicemente la matrice della perspective mapping.

La matrice omografica $\mathbf{H} = \mathbf{P}_{Z}$ della proiezione prospettica di un piano, perspective mapping, relativa a un piano $z$ costante, dove normalmente $z=0$ essendo il suolo il piano più importante, si può ricavare in maniera molto semplice in quanto:

$$\mathbf{P}_{Z} = \mathbf{K} \cdot \mathbf{R}_{Z}$$ (8.30)

dove $\mathbf{R}_{Z}$ è la matrice di rototraslazione di un piano che può essere espressa come

$$\mathbf{R}_{Z} = \begin{bmatrix}\mathbf{r}_1 & \mathbf{r}_2... ...de{t}_y \\ r_6 & r_7 & r_8 z + \tilde{t}_z \\ \end{bmatrix}$$ (8.31)

avendo indicato il vettore $\mathbf{\tilde{t}}$ come traslazione espressa in coordinate camera, come in equazione (8.16).

Questa matrice è molto importante e verrà discussa diffusamente nella sezione 8.5 della calibrazione.

La trasformazione (8.30) essendo un'omografia è invertibile. Quando trasforma in maniera densa tutti i punti immagine in punti mondo si chiama Inverse Perspective Mapping, mentre quando trasforma tutti i punti mondo in punti immagine si indica come Perspective Mapping. In entrambi i casi viene proiettato correttamente solo il piano $z$.

È sempre interessante notare come anche il modello più semplice della camera pin-hole a 9 parametri (6 estrinseci e 3 intrinseci) non è ricavabile dagli 8 parametri vincoli che la matrice omografica fornisce. Tuttavia, conoscendo i parametri intrinseci, è possibile ottenere una stima della rotazione e della posizione della camera (sezione 8.5), in quanto l'equazione 8.30 diventa invertibile:

$$\mathbf{R}_{Z} = \mathbf{K}^{-1} \mathbf{H}$$ (8.32)