Propagazione dell'errore attraverso statistiche linearizzate

L'approccio a Punti Sigma (Sigma-Point Approach o SPA) permette di stimare il valor medio e la varianza di una variabile casuale all'uscita di un sistema modellato da una funzione $f: \mathbb{R}^{n} \mapsto \mathbb{R}^m$ non lineare.

Per stimare valor medio e varianza, la variabile casuale in ingresso $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}$ viene approssimata da $2n+1$ punti $\bm{\mathcal{X}}_i$, chiamati sigma points, ognuno pesato con un peso $w_i$, in modo da ottenere una distribuzione con media e varianza $\bar{\mathbf{x}}$ e $\bm{\Sigma}_{\mathbf{x}}$ rispettivamente, ovvero parametri esattamente uguali a quelli di $\mathbf {x}$.

Un modo per ottenere un insieme di punti, la cui distribuzione ha media e varianza uguali a quelli della distribuzione originale, consiste nel prendere $2n+1$ sigma-points e i rispettivi pesi nel modo seguente:

$$\begin{array}{rl} {\bm{\mathcal{X}}}_0&= \bar{\mathbf{x}}\\... ...ft( \sqrt{ \bm{\Sigma}_{\mathbf{x}} } \right)_i \\ \end{array}$$ (2.42)

dove $\zeta$ è un fattore scalare che tiene conto di quanto i punti sigma siano diffusi rispetto al valor medio $\bar{\mathbf{x}}$. Associato a ogni punto sigma è presente una coppia di pesi $w_i^{m}$ e $w_i^{c}$ usati nel calcolo, rispettivamente, della media e della covarianza.

A differenza dei metodi montecarlo, i sigma-points sono scelti in maniera deterministica in modo da rappresentare al meglio le statistiche della variabile.

Ottenuti i sigma-points, questi vengono trasformati (unscented transformation) attraverso la funzione $f$ in punti sigma trasformati

$${\bm{\mathcal{Y}}}_i = f({\bm{\mathcal{X}}}_i) \quad \scriptstyle i=0,\ldots,2n$$ (2.43)

Da questi punti è possibile calcolare media e varianza della variabile di uscita attraverso

$$\begin{array}{l} \bar{\mathbf{y}} \approx \sum_{i=0}^{2n} w... ...{y}})(\bm{\mathcal{Y}}_i - \bar{\mathbf{y}})^{\top} \end{array}$$ (2.44)

per ogni punto $i=0, \ldots, 2n$. Media e varianza così ottenuti sono una buona approssimazione della media e varianza della distribuzione in ingresso trasformata attraverso la funzione $f$.

Il problema affrontato dall'approccio a punti Sigma è comunque un problema mal definito perché esistono infinite distribuzioni di probabilità possedenti la stessa la media e la covarianza. La Unscented transform (UT) (JU97), una dei possibili Sigma-Point Approach, fissa come valori $\zeta = \sqrt{n + \lambda}$, dove $n$ è la dimensione dello spazio e $\lambda$ è un numero definito come $\lambda = \alpha^2 (n + \kappa) - n$ con $\alpha \in ]0.001, 1]$ un numero piccolo positivo e $\kappa$ solitamente posto a $0$ o $3-n$. In alcuni articoli viene posto $\alpha=1$ e $\kappa=3-n$ per le distribuzioni gaussiane.

Anche nella trasformazione unscented i punti sigma sono punti pesati e i pesi sono differenti nel calcolo del valor medio e della matrice di covarianza. La trasformazione unscented fissa pertanto questi pesi a

$$\begin{array}{l} w^{m}_0 = \frac{\lambda}{n + \lambda} ... ...eta) \\ w_i =w_{i+n} = \frac{1}{2 (n + \lambda)} \end{array}$$ (2.45)

La differenza tra i pesi $w^{m}_i$ e $w^{c}_i$ è solo nel termine centrale. Viene fissato $\beta=2$ per le distribuzioni gaussiane.

È da sottolineare che le varianti degli approcci sigma-point hanno tali pesi calcolati in maniera differente.