Minimi, Massimi e Punti di Sella

Per come è scritto, il modello presentato in precedenza vale sia per punti di minimo/massimo ma anche punti di sella. Tale modello non tiene tuttavia conto di eventuali rotazioni che localmente può la funzione. Se per punti di minimo e massimo tale rotazione è comunque in prima approssimazione ininfluente, nel caso dei punti di sella questa può assumere una certa rilevanza.

La versione dell'equazione (1.94) che tiene conto di eventuali rotazioni degli assi è

$$m_0 x^2 + m_1 x + m_2 y^2 + m_3 y + m_4 x y + m_5 = z$$ (1.97)

Il sistema è totalmente compatibile con quello mostrato nella sezione precedente con l'unica differenza che ora le incognite sono 6 e perciò è necessario processare almeno 6 punti nell'intorno del minimo/massimo/punto di sella. Anche in questo caso non esistono soluzioni notevoli, ma conviene fattorizzare la matrice dei termini noti.

Il gradiente della funzione (1.97) si annulla nel punto corrispondente alla soluzione del sistema lineare

$$\left\{ \begin{array}{l} 2 m_0 x + m_4 y = - m_1 \\ m_4 x + 2 m_2 y = - m_3 \\ \end{array} \right.$$ (1.98)

risolvibile facilmente con la regola di Cramer.

I punti di sella possono essere utili per esempio per trovare con precisione subpixel marcatori a forma di scacchiera.