Parametrizzazione Asse-Angolo

Ogni rotazione è equivalente a una rotazione intorno a un asse (di rotazione) di una certa quantità angolare. Da questo presupposto parte la formulazione di una rotazione di Rodrigues o Parametrizzazione Asse-Angolo. La formulazione di Rodrigues cerca di risolvere i problemi di singolarità intrinseci delle formulazioni di Tait-Bryan e Eulero (diverse combinazioni di valori rappresentano la stessa matrice di rotazione), oltre a fornire una formulazione geometrica e concisa della rotazione.

La formula della rotazione proposta da Rodrigues è formata da un versore $\mathbf{k}$ e da un angolo $\vartheta$ i quali permettono di rappresentare una rotazione dei punti dello spazio di un angolo $\vartheta$, intorno all'asse formato dal vettore $\mathbf{k}$, con verso positivo nel senso della regola della mano destra.

È possibile convertire asse e angolo in una matrice di rotazione attraverso una equazione compatta proposta da Rodrigues:

$$\mathbf{R} = \mathbf{I} + \sin\vartheta [ \mathbf{k} ]_{\... ... \cos \vartheta) (\mathbf{k} \mathbf{k}^{\top} - \mathbf{I} )$$ (A.13)

(questa è una delle molteplici rappresentazioni disponibili in letteratura) che equivale, esplicitando i termini, alla matrice di rotazione

$$\mathbf{R} = \begin{bmatrix} c+k_x^{2} (1-c)& k_x k_y (... ... k_x s +k_y k_z (1-c) & c+k_z^{2} (1-c) \\ \end{bmatrix}$$ (A.14)

avendo dichiarato $s=\sin\vartheta$ e $c=\cos\vartheta$. Quando $\vartheta = 0$, ovvero in assenza di rotazione, la matrice si riduce all'identità.

La formulazione inversa è anch'essa estremamente compatta e vale:

$$\begin{array}{l} \vartheta = \cos^{-1} \left( \dfrac{ \t... ... - r_{31} \\ r_{21} - r_{12} \end{bmatrix} \end{array}$$ (A.15)

Siccome $\mathbf{k}$ e $\vartheta$ sono di fatto 4 parametri, solitamente si usa un vettore $\mathbf{w}=\vartheta \mathbf{k}$ generico per rappresentare una rotazione nella formulazione di Rodrigues e si attuano le sostituzioni:

$$\begin{array}{l} \mathbf{k} = \dfrac{\mathbf{w}}{\Vert \... ...\Vert} \\ \vartheta = \Vert \mathbf{w} \Vert \end{array}$$ (A.16)

in modo da rappresentare correttamente la trasformazione da $\mathbf{so}(3)$ a $SO(3)$.