Armoniche Sferiche

Un punto nodale della rappresentazione del colore viene dall'uso delle Armoniche Sferiche (Spherical Harmonics SH). Le armoniche sferiche sono soluzioni dell'equazione di Laplace in coordinate sferiche, ortogonali e formanti una base completa per le funzioni definite su una sfera, ovvero qualsiasi funzione $L(\theta, \phi)$ può essere espansa in una serie di armoniche sferiche:

\begin{displaymath}
L(\mathbf{d}) = L(\theta, \phi) = \sum_{l=0} \sum_{m=-l}^{m=l} k_{l}^{m} Y_{l}^{m} \left( \theta, \phi \right)
\end{displaymath} (9.93)

Tutta questa classe di funzioni può essere generata da una unica formula, scegliendo con $l \ge 0$ per il grado dell'armonica e per l'ordine $-l \le m \le l$:

\begin{displaymath}
Y_l^{m}(\theta,\phi) = \frac{(-1)^l}{2^l l!} \sqrt{ \frac{(...
... \pi (l-m)!} } e^{i m \phi} P_l^{m} \left( \cos \theta \right)
\end{displaymath} (9.94)

dove $P_l^{m} \left( \cos \theta \right)$ sono i polinomi di Legendre associati (YLT$^+$21). Nel caso di $l = 0$, la prima armonica è una costante sulla sfera e vale $Y_0^{0} = \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{1}{\pi} } \approx 0.282$.

In grafica computazionale sono usate per rappresentare l'informazione sull'illuminazione in modo compatto ed efficiente. Le Armoniche Sferiche decompongono la luce incidente in un insieme di coefficienti, ognuno associato ad una armonica differente. Questi coefficienti catturano le caratteristiche della luce, come intensità e colore, lungo differenti direzioni della superficie sferica.

L'idea è quella di selezionare un grado massimo di $l$ e ogni componente del colore (rossa, verde, blue) scriverla come combinazione lineare delle armoniche sferiche usando come parametro $(\theta, \phi)$ il raggio ottico che collega il punto all'osservatore.

Paolo medici
2025-03-12