Trasformazioni di Variabili Aleatorie

Uno dei problemi fondamentali in statistica è capire come una variabile aleatoria si propaghi all'interno di un sistema complesso e in che misura renda aleatoria l'uscita di tale sistema.

Sia $f(\cdot)$ una funzione che trasforma la variabile aleatoria $X$ nella variabile aleatoria $Y$, ovvero $y = f(x)$, con $x$ realizzazioni della variabile aleatoria $X$, e supponiamo che $f$ sia invertibile, ovvero che esiste una funzione $x = g(y)$ tale che $g(f(x))=x$.

Sia $\mathcal{I}_x$ un generico intervallo del dominio di esistenza dei valori $x$ e $\mathcal{I}_y=\{ y: y=f(x), x \in \mathcal{I}_x \}$ la sua corrispondente immagine. È ovvio che le probabilità degli eventi di $x$ in $\mathcal{I}_x$ e $y$ in $\mathcal{I}_y$ devono essere uguali ovvero

$$\int_{\mathcal{I}_y} p_Y(y) dy = \int_{\mathcal{I}_x} p_X(x) dx$$ (2.24)

Senza perdita di generalità è possibile porre a infinitesimo l'intervallo $\mathcal{I}_x$. Sotto questa condizione la relazione (2.24) si riduce a

$$p_Y(y) \vert dy\vert = p_X(x) \vert dx \vert = p_X(g(y)) \vert dx \vert$$ (2.25)

da cui

$$p_Y(y) = p_X(g(y)) \frac{\vert dx\vert}{\vert dy \vert } = ... ...= \left. \frac{p_X(x)}{\vert f'(x)\vert} \right\vert _{x=g(y)}$$ (2.26)

Questa relazione si può facilmente estendere al caso di funzione non iniettiva, sommando i diversi intervalli, e al caso multidimensionale, usando lo Jacobiano al posto della derivata.