Modelli a Miscela

I modelli a miscela sono un tipo di modello di densità costituito da certo numero di funzioni di densità, solitamente gaussiane (Gaussian Mixture Models) e queste funzioni sono unite per fornire una densità multimodale. I modelli a miscela permettono di rappresentare distribuzioni di probabilità in presenza di sottopopolazioni. Possono, per esempio, essere impiegate per modellare i colori di un oggetto e sfruttare tale informazione per eseguire il tracking o la segmentazione basata sul colore.

Il mixture model è un formalismo matematico sufficiente per modellare una distribuzione di probabilità come somma di distribuzioni parametriche. In termini matematici

$$p_{X}(x) = \sum_{k = 1}^{n} a_{k} h(x \vert \lambda_k)$$ (2.20)

dove $p_{X}(x)$ è la funzione distribuzione modellata, $n$ è il numero di componenti nel modello, e $a_k$ è il fattore di proporzione del componente $k$. Per definizione $0 < a_k < 1$ $\forall k = 1,\dots,n$ e $a_{1} + \cdots + a_{n} = 1$. $h(x \vert \lambda_k)$ è una distribuzione di probabilità parametrizzata da un vettore (in generale) $\lambda_k$. Nel caso di modelli a miscela di gaussiane, il vettore dei parametri è formato da media e varianza delle singole componenti.

I mixture models sono spesso utilizzanti quando si conosce $h(x)$, si può campionare $p_{X}(x)$ e si vuole solo determinare i parametri $a_k$ e $\lambda_k$. Un esempio di situazione pratica dove tale formalismo è impiegato, è quando si vuole analizzare una popolazione formata da distinte sottopopolazioni.