Minimi e Massimi in 1D

Figura 1.9: Costruzione del modello a parabola e individuazione del massimo con precisione sub-pixel.

Se il punto da esaminare è il massimo o il minimo di una sequenza monodimensionale, si può approssimare il primo vicinato del punto con una quadrica di equazione $a x^2 + b x + c = y$. La quadrica è il grado di funzione minimo che permetta l'individuazione di minimi o massimi locali.

Siano pertanto $y_{-1}$, $y_0$ e $y_{+1}$ i valori della funzione con scostamento di $-1$, $0$ e $+1$ rispetto al minimo/massimo individuato con precisione del pixel. L'equazione della quadrica passante per questi 3 punti assume la forma notevole

$$a = \frac{y_{+1} - 2 y_0 + y_{-1}}{2} \quad b = \frac{y_{+1} - y_{-1}}{2} \quad c = y_0$$ (1.90)

Tale curva ha il punto di massimo/minimo, notevole, in

$$\hat{\delta}_x = -\frac{b}{2 a} = - \frac{y_{+1} - y_{-1}}{2 (y_{+1} - 2 y_0 + y_{-1} ) }$$ (1.91)

$\hat{\delta}_x$ è da intendersi come scostamento rispetto al punto di massimo/minimo precedentemente individuato ovvero rappresenta solamente la sua parte sub-pixel.

Questa equazione fornisce anche un ulteriore risultato notevole: se $y_0$ è un punto di massimo/minimo locale significa che tale valore sarà, per definizione, minore/maggiore sempre sia di $y_{+1}$ che di $y_{-1}$. Grazie a questa considerazione, si dimostra facilmente che $\hat{\delta}_x$ è sempre compreso tra $-1/2$ e $1/2$.

Esiste una formulazione alternativa: chiamando $\delta_{+}=y_{+1}-y_{0}$ e $\delta_{-}=y_{-1}-y_{0}$ l'equazione della parabola diventa

$$a = \frac{\delta_{+} + \delta_{-}}{2} \quad b = \frac{\delta_{+} - \delta_{-}}{2}$$ (1.92)

e il minimo si trova in

$$\hat{\delta}_x = - \frac{\delta_{+} - \delta_{-}}{2 (\delta_{+} + \delta_{-}) }$$ (1.93)

dove si vede bene che la posizione del minimo è ovviamente indipendente da $y_0$ ma solamente funzione dei delta.